الأعداد الأولية: توصيل النقاط للطباعة

اتبع النمط لتكشف الرسمة

في رسومات توصيل النقاط (الأعداد الأولية) تحمل كل نقطة عددًا من نمط معيّن بدل 1 و2 و3. نبدأ من 2 ثم 3 و5 و7 و11 و13: الأعداد الأولية بالترتيب. كل وصلة صحيحة تضيف جزءًا من الرسم، ويصبح الشكل المكتمل جاهزًا للتلوين.

تجمع هذه الصفحة نسخ (الأعداد الأولية) لـ 31 رسمة. افتح بطاقة واختر نسختها: الأعداد الأولية.

النمط وكيف تتحقق منه

العدد الأولي له قاسمان فقط: 1 ونفسه. الأعداد هي 2 و3 و5 و7 و11 و13 و17 و19 و23 وهكذا: النقطة رقم n تحمل العدد الأولي رقم n. والعدد 1 ليس أوليًا، و2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد. وللمزيد راجعوا مقالة عدد أولي.

تتغير الفواصل بين الأعداد الأولية فلا يوجد إيقاع منتظم. ضع جدولًا للأعداد الأولية بجانب الورقة وضع علامة على كل عدد. تكبر الأعداد: العدد الأولي المئة هو 541، ولذلك تستخدم هذه الأوراق الرسومات الأقصر.

ما الذي تدرّب عليه الأوراق

تدرّب الأوراق على التعرف على الأعداد الأولية والتفكير في القواسم والبحث عن العدد التالي في قائمة. وهي مناسبة للأكبر سنًّا ممن يعرفون جدول الضرب.

لا تعلّم الأوراق الحساب ولا تحل محل الدرس. اشرح الفكرة أولًا ثم دع النقاط توفر التدريب.

اختيار رسمة

تتراوح رسومات هذه المجموعة بين 43 و96 نقطة، فهناك ورقة لوقت قصير وأخرى لوقت طويل.

من المسارات الأقصر مثلًا: زحل (43 نقطة، تنتهي عند 191) وكاميرا الفضاء (43 نقطة، تنتهي عند 191).

لوقت أطول جرّب: زهرة البلوميريا (95 نقطة، تنتهي عند 499) وزهرة الكبوسين (96 نقطة، تنتهي عند 503).

كيف تبدأ

قبل البدء ضع دائرة حول الأعداد الأولية في لوحة المئة. ثم صِل النقاط واللوحة بجانبك وقل كل عدد أولي بصوت عالٍ.

اكتب الأعداد الأولى على شريط ورقي وضعه بجانب الورقة. نفّذا أول الوصلات معًا، وعندما يتوقف الطفل اسأله عمّا يأتي بعد ذلك قبل أن تساعده.

جولة بين الرسومات

مسارات الأعداد الأولية تكبر بسرعة، حتى إن الرسومات القصيرة تصل إلى أعداد من ثلاثة أرقام. أسهل رسمتين هما زحل وكاميرا الفضاء: في كل منهما 43 نقطة تنتهي عند 191. وتنتهي رسمة زهرة اللوتس عند 199، ورسمة سمكة التانغ الزرقاء عند 229.

ثلاث رسومات تشترك في النهاية نفسها: بطريق السيرك وسمكة المهرج وزهرة القرنفل، في كل منها 53 نقطة تنتهي عند 241. ورسمة دلة القهوة ورسمة فيل السيرك يوازن على كرة تتوقفان عند 307، ورسمة زهرة الورد ورسمة برج العرب عند 317.

ولمن يريد تحديًا أكبر، تصل رسمة ثعبان كهربائي إلى 419، وتتوقف رسمة زهرة البلوميريا قبل 500 بقليل عند 499، أما رسمة زهرة الكبوسين، وهي الأطول هنا بعدد 96 نقطة، فتتجاوز 500 وتنتهي عند 503.

رسومات عدد نقاطها عدد أولي

بعض الرسومات تخفي عددًا أوليًا ثانيًا. في رسمة زحل يوجد 43 نقطة، وفي رسمة سمكة المهرج يوجد 53، وفي رسمة خيمة السيرك يوجد 59، وفي رسمة سمكة بلاتي ميكي ماوس يوجد 61، وفي رسمة فراشة لطيفة يوجد 67. وكل واحد من أعداد النقاط هذه عدد أولي بحد ذاته.

اطلبوا من الطفل أن يتحقق من ذلك قبل الرسم: هل يمكن ترتيب 59 شيئًا في صفوف متساوية من 2 أو 3 أو 5 أو 7؟ لا يمكن، إذن 59 عدد أولي. ثم قارنوا برسمة شاحنة قلّابة التي فيها 69 نقطة: 69 يساوي 3 × 23، فهو ليس أوليًا. استراحة قصيرة كهذه تجعل بطاقة الرسمة نفسها لغزًا.

ويمكن تحويل هذا الفحص إلى نشاط بالأشياء الملموسة قبل الورقة. أعطوا الطفل عددًا من الأزرار أو حبات الفول، مثل 12 حبة، واطلبوا منه ترتيبها في صفوف متساوية بكل الطرق الممكنة: صفّان من 6، وثلاثة صفوف من 4، وأربعة من 3، وستة من 2. ثم جرّبوا 13 حبة: لا تنجح إلا طريقة الصف الواحد الطويل. هذا هو معنى العدد الأولي في صورة يراها الطفل بعينيه، وبعدها يصبح سؤال "هل يمكن ترتيبه في صفوف متساوية؟" أداة يستعملها مع أي عدد على الورقة.

أعداد أولية توأم مختبئة عند خط النهاية

الأعداد الأولية التوأم أزواج يفصل بينها 2، مثل 41 و43. وعدة رسومات تنتهي عند أحد طرفي زوج توأم. تنتهي رسمة زحل عند 191، و193 عدد أولي أيضًا. وتنتهي رسمة زهرة اللوتس عند 199، وتوأمه 197. وتنتهي رسمة سمكة التانغ الزرقاء عند 229 (وتوأمه 227)، ورسمة قرد السيرك على دراجة أحادية العجلة عند 271 (وتوأمه 269)، ورسمة ورقة القيقب عند 349 (وتوأمه 347).

بعد إكمال الرسمة، تحدّوا الطفل أن يبحث بين الأعداد عن أزواج توأم أخرى. الأزواج الأولى سهلة (3 و5، و5 و7، و11 و13)، لكن الأزواج اللاحقة مثل 101 و103 أو 137 و139 تحتاج إلى بحث حقيقي. ولا أحد يعرف حتى الآن هل تستمر الأعداد الأولية التوأم إلى ما لا نهاية؛ إنها من أشهر المسائل المفتوحة في الرياضيات.

كيف تختبر عددًا

يكفي أن تجرّب القسمة على الأعداد الأولية حتى الجذر التربيعي للعدد. للأعداد الأصغر من 121 يكفي اختبار 2 و3 و5 و7. وفي أطول الأوراق، التي تصل إلى 503، يغطي الاختبار حتى 19 كل الأعداد.

بعض الاختصارات تساعد كثيرًا. يقبل العدد القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه من مضاعفات 3: مجموع رقمي 57 هو 12، لذلك 57 = 3 × 19 وليس أوليًا. والعدد المنتهي بالرقم 0 أو 5 يقبل القسمة على 5. ولا يوجد عدد زوجي أولي بعد 2. والطفل الذي يستخدم هذه الفحوص يستطيع العمل دون جدول، وهذا هو الهدف الحقيقي. ومن يعرف جدول الضرب جيدًا يرى هذه الاختصارات أسرع من غيره.

أخبث المحتالين أعداد فردية تبدو أولية: 51 (3 × 17)، و87 (3 × 29)، و91 (7 × 13)، و119 (7 × 17). لا يظهر أي منها في ورقة الأعداد الأولية، فإذا مدّ الطفل خطه نحو أحدها فقد اكتشف خطأه بنفسه.

ولمن يريد طريقة منظمة، اكتبوا على بطاقة صغيرة بجانب الورقة خطوات الفحص بالترتيب: هل العدد زوجي؟ هل ينتهي بـ0 أو 5؟ هل مجموع أرقامه من مضاعفات 3؟ هل يقبل القسمة على 7؟ فإذا كان الجواب "لا" عن كل ذلك، وكان العدد أصغر من 121، فهو أولي. وللأعداد الأكبر أضيفوا 11 و13 إلى القائمة، ثم 17 و19 للمسارات الطويلة. يتبع الطفل البطاقة في البداية، ثم يكتشف بعد عدة أوراق أنه لم يعد يحتاج إليها.

خمس ألعاب بورقة الأعداد الأولية

الغربال أولًا. اصنعوا لوحة المئة واشطبوا مضاعفات 2 و3 و5 و7 (دون شطب هذه الأعداد نفسها). ما يبقى هو الأعداد الأولية، بالطريقة نفسها التي وصفها إراتوستينس قبل أكثر من ألفي عام. واشطبوا 1 أيضًا، فهو ليس عددًا أوليًا. استخدموا اللوحة أثناء الرسم.

سجل الفجوات. اكتبوا الفرق بين كل عدد والعدد الذي يليه. معظم الفجوات 2 أو 4 أو 6، لكن بين 113 و127 فجوة مقدارها 14. من يجد أكبر فجوة في ورقته؟

أولي أم محتال؟ اكتبوا أعدادًا مثل 39 و41 و49 و53 و57 على بطاقات. قبل كل خطوة يصنّف الطفل بطاقة واحدة. ولا يُسمح على الصفحة إلا بالأعداد الأولية الحقيقية.

سباق النهاية الواحدة. يأخذ لاعبان رسمة بطريق السيرك ورسمة سمكة المهرج، وكلتاهما تنتهي عند 241. يجب على كل لاعب أن ينطق كل عدد بصوت عالٍ؛ والعدد الخطأ يكلّفه دورًا.

صائد التوائم. بعد الانتهاء، لوّنوا كل زوج من الأعداد الأولية التوأم في الصفحة باللون نفسه.

ويمكن تعديل أي لعبة من هذه الألعاب حسب عمر الطفل. للأصغر سنًا، اكتفوا بأول عشرين نقطة مع لوحة المئة أمامه، واجعلوا الهدف إكمال جزء من الرسمة لا كلها. وللأكبر، اطلبوا منه أن يشرح بصوت عالٍ لماذا اختار كل عدد، فالشرح نفسه تدريب على التفكير الرياضي.

لماذا تهم الأعداد الأولية خارج الورقة

كثيرًا ما تُسمّى الأعداد الأولية لبنات بناء الأعداد. فكل عدد صحيح أكبر من 1 إما أولي، وإما يمكن الحصول عليه بضرب أعداد أولية، وبطريقة واحدة فقط: 12 هو 2 × 2 × 3 ولا شيء غير ذلك. ومن يعرف الأعداد الأولية يستطيع تفكيك أي عدد إلى قطعه.

وتظهر الأعداد الأولية في أماكن مدهشة أيضًا. بعض أنواع حشرات السيكادا الدورية في أمريكا الشمالية تقضي 13 أو 17 عامًا تحت الأرض قبل أن تخرج، وكلاهما عدد أولي. وجزء كبير من الأمان الذي يحمي الخدمات المصرفية عبر الإنترنت يعتمد على صعوبة تفكيك الأعداد الضخمة جدًا إلى عواملها الأولية. والأعداد الأولية الصغيرة في هذه الأوراق هي الخطوات الأولى للفكرة نفسها.

بعض الأعداد الأخيرة مميزة بطريقة أخرى: تُقرأ من اليمين ومن اليسار بالشكل نفسه. تنتهي رسمة بومة لطيفة عند 313، ورسمة السبينوصور عند 373، ورسمة زهرة الأوركيد عند 383. هذه أعداد أولية متناظرة. وتختبئ أعداد متناظرة أخرى مثل 101 و131 و151 و181 و191 داخل المسارات الأطول؛ اسألوا الأطفال كم عددًا منها يجدون بعد إكمال الرسمة. وبين الأعداد المكوّنة من رقمين، 11 هو العدد الأولي المتناظر الوحيد: فـ22 و33 و44 والبقية كلها من مضاعفات 11.

لم يجد أحد حتى الآن صيغة بسيطة تسرد كل الأعداد الأولية، وهذا جزء من سر افتتان علماء الرياضيات بها. ووصل مسار من الأعداد الأولية لمحة صغيرة من هذا اللغز: العدد التالي موجود دائمًا، لكن عليك أن تبحث عنه.

خطة خمسة أيام للأعداد الأولية

اليوم الأول: اصنعوا الغربال. اصنعوا لوحة المئة، واشطبوا 1 ومضاعفات 2 و3 و5 و7 (دون هذه الأعداد الأولية الأربعة)، واحتفظوا بها طوال الأسبوع.

اليوم الثاني: مسار قصير. ارسموا رسمة كاميرا الفضاء مستعينين باللوحة. تنتهي عند 191، فتغطي اللوحة أول 25 نقطة، وما بعدها أرض جديدة.

اليوم الثالث: الاختبار وحدك. في رسمة سيارة صغيرة لطيفة التي تنتهي عند 257، حاولوا اختبار الأعداد الأكبر من 100 بأنفسكم قبل البحث عنها.

اليوم الرابع: التوائم. ارسموا رسمة قرد السيرك على دراجة أحادية العجلة ولوّنوا أزواج الأعداد الأولية التوأم التي تجدونها.

اليوم الخامس: المسار الطويل. جرّبوا رسمة زهرة التوليب (تنتهي عند 457) أو رسمة زهرة الكبوسين، وسجّلوا الفجوات أثناء الرسم.

أوراق الأعداد الأولية في الصف

تناسب أوراق الأعداد الأولية تلاميذ الصفوف العليا من المرحلة الابتدائية وبداية المرحلة المتوسطة ممن يعرفون جدول الضرب. وتنجح جيدًا بعد درس عن العوامل والمضاعفات، لأن كل خطوة تطرح السؤال نفسه: هل لهذا العدد قواسم غير 1 ونفسه؟

ولمهمة أغنى، اطلبوا من المجموعات اختيار رسومات مختلفة وتسجيل ثلاث معلومات عن مسارها: العدد الأخير، وأكبر فجوة، وعدد الأزواج التوأم. ومقارنة النتائج في الصف تُظهر أن الأعداد الأولية تتباعد كلما كبرت الأعداد، دون أن يضطر أحد إلى قولها كقاعدة. الرسومات القصيرة مثل سمكة التانغ الزرقاء تبقي المهمة في المتناول، بينما تقدم رسمة ثعبان كهربائي تحديًا حقيقيًا.

وللختام، جرّبوا سؤال استدلال قصيرًا: "يقول زميل إن كل عدد فردي عدد أولي. جد عددًا بحجم أعداد الورقة يثبت أنه مخطئ". إجابات مثل 9 أو 15 أو 21 أو 91 تُظهر أن التلاميذ يستطيعون اختبار ادعاء بدل حفظ قائمة، وهذه هي العادة التي صُممت هذه الأوراق لبنائها.

وفي البيت، لا داعي لإكمال ورقة الأعداد الأولية في جلسة واحدة، فهي أبطأ من أوراق الأعداد الزوجية والفردية لأن كل خطوة تحتاج إلى تفكير. قسّموا المسار على أيام، وضعوا علامة بقلم الرصاص عند آخر نقطة. وإذا شعر الطفل بالإحباط فاسمحوا له باستخدام لوحة المئة أو قائمة الأعداد الأولية؛ فالهدف أن يستمتع بالبحث ويتعرف على هذه الأعداد شيئًا فشيئًا، لا أن يحفظها دفعة واحدة. ويمكن للأخ الأكبر أن يكون "حَكَم الأعداد" الذي يتحقق من كل عدد قبل رسم الخط، فيتدرب هو أيضًا دون أن يشعر.

كيف راجعنا هذه الأوراق

كل ورقة من أوراق الأعداد الأولية تحتفظ بالرسمة الأصلية وبترتيب الوصل الذي سبق اختباره. العدد على النقطة رقم n هو العدد الأولي رقم n، محسوبًا لا مكتوبًا باليد، والأعداد الأخيرة في هذه الصفحة مأخوذة من عدد نقاط كل رسمة. وإذا بدا لكم أي شيء خاطئًا، فاستخدموا رابط الإبلاغ أدناه.

طباعة ملف PDF المجاني

افتح الرسمة المختارة، واختر نسخة: الأعداد الأولية، ونزّل ملف PDF بمقاس A4 أو US Letter. اطبع بالحجم الفعلي (100%) لا من لقطة شاشة.

عن هذا الدليل والإبلاغ عن مشكلة

تحتفظ نسخة: الأعداد الأولية بكل رسمة وترتيبها، وتستبدل الأعداد 1 و2 و3 بأعداد هذا النمط. يُحسب العدد الأخير المعروض في هذه الصفحة من النمط وعدد نقاط كل رسمة.

أُعدّ هذا الدليل بمساعدة الذكاء الاصطناعي في المسودة والتحرير. اقرأ عن المشروع في صفحة من نحن وفي السياسة التحريرية.

إذا بدا عدد أو تنزيل خاطئًا، فـأبلغ عن المشكلة مع عنوان الرسمة واسم النسخة: الأعداد الأولية.