Liczby pierwsze: łączenie kropek do druku

Podążaj za ciągiem, by odkryć obrazek

Obrazki do łączenia kropek z kolekcji „Liczby pierwsze” mają na każdej kropce liczbę z ciągu zamiast 1, 2, 3. Zaczynamy od 2, potem 3, 5, 7, 11, 13: liczby pierwsze po kolei. Każde poprawne połączenie dodaje część rysunku, a gotowy kontur czeka na pokolorowanie.

Na tej stronie znajdziesz 31 obrazków w wersji „Liczby pierwsze”. Otwórz wybraną kartę i zaznacz tę wersję.

Ciąg i jak go sprawdzić

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i siebie samą. Liczby to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i tak dalej: kropka numer n ma n-tą liczbę pierwszą. Liczba 1 nie jest pierwsza, a 2 to jedyna parzysta liczba pierwsza. Definicję i przykłady znajdziesz też w artykule o liczbach pierwszych.

Odstępy między liczbami pierwszymi się zmieniają, więc nie ma równego rytmu. Połóż obok tabelę liczb pierwszych i odhaczaj każdą. Liczby szybko rosną: setna liczba pierwsza to 541, dlatego na tych kartach są krótsze obrazki.

Co można ćwiczyć na tych kartach

Karty pozwalają ćwiczyć rozpoznawanie liczb pierwszych, myślenie o dzielnikach i szukanie następnej liczby na liście. Pasują do starszych dzieci, które znają tabliczkę mnożenia.

Karty nie uczą rachowania i nie zastępują lekcji. Najpierw wyjaśnij pojęcie, a kropki potraktuj jako ćwiczenie utrwalające.

Wybór obrazka

Obrazki w tej kolekcji mają od 43 do 96 kropek, więc znajdzie się karta i na krótkie, i na dłuższe zajęcia.

Krótsze trasy to na przykład Saturn (43 kropki, koniec na 191) i Kamera kosmiczna (43 kropki, koniec na 191).

Na dłuższe zajęcia nadadzą się: Plumeria (95 kropek, koniec na 499) i Nasturcja (96 kropek, koniec na 503).

Jak zacząć

Przed startem zakreśl liczby pierwsze w tabeli liczb do 100. Potem łącz kropki z tą tabelą obok i czytaj każdą liczbę pierwszą na głos.

Zapisz pierwsze liczby na pasku papieru i połóż go obok kartki. Pierwsze połączenia wykonajcie razem, a gdy dziecko utknie, zapytaj, co będzie dalej, zanim pomożesz.

Przegląd obrazków

Trasy z liczbami pierwszymi rosną szybko, więc nawet krótkie obrazki dochodzą do liczb trzycyfrowych. Najłatwiejsze są obrazki „Saturn” i „Kamera kosmiczna”: każdy ma 43 kropki i kończy się na liczbie 191. Obrazek „Lotos” kończy się na liczbie 199, a obrazek „Pokolec królewski (blue tang)” na liczbie 229.

Trzy obrazki mają wspólną metę: „Cyrkowy pingwin”, „Błazenek” i „Goździk” mają po 53 kropki i kończą się na liczbie 241. Obrazki „Dzbanek do kawy Dallah” i „Cyrkowy słoń balansujący na piłce” zatrzymują się na liczbie 307, a „Róża” i „Burdż Al-Arab” na liczbie 317.

Dla ambitnych: obrazek „Węgorz elektryczny” dochodzi do liczby 419, obrazek „Plumeria” zatrzymuje się tuż przed 500, na liczbie 499, a obrazek „Nasturcja”, najdłuższy w tej kolekcji (96 kropek), przekracza tę granicę i kończy się na liczbie 503. Przy tak długich trasach dobrze mieć pod ręką tabelę liczb pierwszych albo samodzielnie przygotowane sito.

Obrazki, w których liczba kropek jest liczbą pierwszą

Niektóre obrazki skrywają drugą liczbę pierwszą. Liczba kropek na obrazku „Saturn” to 43, na obrazku „Błazenek” 53, na obrazku „Namiot cyrkowy” 59, na obrazku „Platka Myszka Miki” 61, a na obrazku „Słodki motyl” 67. Każda z tych liczb kropek sama jest liczbą pierwszą.

Poproś dziecko, żeby sprawdziło to przed rysowaniem: czy 59 da się ułożyć w równe rzędy po 2, 3, 5 albo 7? Nie da się, więc 59 jest liczbą pierwszą. Potem porównajcie z obrazkiem „Wywrotka”, który ma 69 kropek. 69 to 3 × 23, więc nie jest liczbą pierwszą. Taka krótka dygresja zamienia samą kartę z obrazkiem w zagadkę.

Można też poprosić dziecko o ułożenie każdej z tych liczb z klocków lub fasolek w prostokąt. Liczby złożone dają się ułożyć w prostokąt, a liczby pierwsze tylko w jeden długi rząd. Ten obraz zostaje w pamięci dłużej niż sama definicja.

Liczby pierwsze bliźniacze ukryte na mecie

Liczby pierwsze bliźniacze to pary różniące się o dwa, na przykład 41 i 43. Kilka obrazków kończy się na jednej z liczb takiej pary. Obrazek „Saturn” kończy się na liczbie 191, a 193 także jest liczbą pierwszą. Obrazek „Lotos” kończy się na liczbie 199, której bliźniaczką jest 197. Obrazek „Pokolec królewski (blue tang)” kończy się na liczbie 229 (bliźniaczka: 227), obrazek „Małpka cyrkowa na monocyklu” na liczbie 271 (bliźniaczka: 269), a obrazek „Liść klonowy” na liczbie 349 (bliźniaczka: 347).

Gdy obrazek jest gotowy, rzuć dziecku wyzwanie: niech poszuka na kartce innych par bliźniaczych. Pierwsze są łatwe (3 i 5, 5 i 7, 11 i 13), ale późniejsze pary, takie jak 101 i 103 albo 137 i 139, wymagają prawdziwego szukania. Nikt do dziś nie wie, czy liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele; to jedno ze słynnych otwartych problemów matematyki.

Jak sprawdzić liczbę na kartce

Wystarczy próbować dzielić przez liczby pierwsze nie większe niż pierwiastek kwadratowy z danej liczby. Dla liczb mniejszych od 121 wystarczy sprawdzić 2, 3, 5 i 7. Dla najdłuższych kart, które dochodzą do liczby 503, wystarczy sprawdzać dzielniki do 19.

Pomaga kilka skrótów, czyli cech podzielności znanych ze szkoły. Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest wielokrotnością 3: cyfry liczby 57 dają razem 12, więc 57 = 3 × 19 i nie jest liczbą pierwszą. Liczba zakończona cyfrą 0 lub 5 dzieli się przez 5. Liczby parzyste większe od 2 nigdy nie są pierwsze. Dziecko, które korzysta z tych cech, może pracować bez tabeli, i to jest prawdziwy cel.

Podstępne oszustki to liczby nieparzyste, które wyglądają na pierwsze: 51 (3 × 17), 87 (3 × 29), 91 (7 × 13) i 119 (7 × 17). Żadna z nich nie pojawia się na karcie z liczbami pierwszymi, więc jeśli dziecko sięgnie po którąś, samo przyłapie się na błędzie.

Pięć zabaw z kartą liczb pierwszych

Najpierw sito. Zróbcie tabelkę liczb do stu i skreślcie 1, a potem wielokrotności 2, 3, 5 i 7 (ale nie same liczby 2, 3, 5 i 7). To, co zostanie, to liczby pierwsze, czyli ta sama metoda, którą ponad dwa tysiące lat temu opisał Eratostenes. Korzystajcie z tabelki podczas rysowania.

Dziennik przerw. Zapisuj różnicę między każdą liczbą a następną. Większość różnic to 2, 4 albo 6, ale między 113 a 127 jest przerwa równa 14. Kto znajdzie największą przerwę na swojej karcie?

Pierwsza czy oszustka? Wypisz na kartonikach liczby takie jak 39, 41, 49, 53 i 57. Przed każdym ruchem dziecko klasyfikuje jeden kartonik. Na trasę wolno wpuścić tylko prawdziwe liczby pierwsze.

Wyścig do tej samej mety. Dwoje graczy bierze obrazki „Cyrkowy pingwin” i „Błazenek”, które kończą się na liczbie 241. Każdą liczbę trzeba wypowiedzieć na głos; za błędną liczbę traci się kolejkę.

Łowca bliźniaków. Po skończeniu pokolorujcie każdą parę liczb pierwszych bliźniaczych na kartce tym samym kolorem.

Dlaczego liczby pierwsze są ważne poza kartką

Liczby pierwsze często nazywa się cegiełkami, z których zbudowane są liczby. Każda liczba naturalna większa od 1 jest albo pierwsza, albo da się ją otrzymać jako iloczyn liczb pierwszych, i to tylko na jeden sposób: 12 to 2 × 2 × 3 i nic innego. Dzieci, które znają liczby pierwsze, łatwiej rozkładają liczby na czynniki.

Liczby pierwsze pojawiają się też w zaskakujących miejscach. Niektóre cykady periodyczne w Ameryce Północnej spędzają pod ziemią 13 albo 17 lat, zanim wyjdą na powierzchnię, a obie te liczby są pierwsze. Duża część zabezpieczeń bankowości internetowej opiera się na tym, jak trudno rozłożyć bardzo duże liczby na czynniki pierwsze. Małe liczby pierwsze na tych kartach to pierwszy krok w stronę tej samej idei.

Niektóre ostatnie liczby są wyjątkowe jeszcze z innego powodu: czyta się je tak samo od przodu i od tyłu. Obrazek „Słodka sowa” kończy się na liczbie 313, obrazek „Spinozaur” na liczbie 373, a obrazek „Storczyk (orchidea)” na liczbie 383. To palindromiczne liczby pierwsze. Inne palindromy, takie jak 101, 131, 151, 181 i 191, kryją się w dłuższych trasach; zapytaj dzieci, ile ich znajdą po skończeniu rysunku. Wśród liczb dwucyfrowych jedyną palindromiczną liczbą pierwszą jest 11: 22, 33, 44 i pozostałe są wielokrotnościami 11.

Nikt nie znalazł prostego wzoru, który wypisywałby wszystkie liczby pierwsze, i to jeden z powodów, dla których tak fascynują matematyków. Rysowanie trasy po liczbach pierwszych to mały przedsmak tej tajemnicy: następna liczba zawsze istnieje, ale trzeba jej poszukać.

Pięciodniowy plan z liczbami pierwszymi

Dzień 1: budujemy sito. Zróbcie tabelkę liczb do stu, skreślcie 1 i wielokrotności 2, 3, 5 i 7 (ale nie te cztery liczby pierwsze) i zachowajcie ją na cały tydzień.

Dzień 2: krótka trasa. Narysujcie obrazek „Kamera kosmiczna”, korzystając z tabelki. Kończy się na liczbie 191, więc tabelka obejmuje pierwsze 25 kropek, a reszta to nowy teren.

Dzień 3: samodzielne sprawdzanie. Na obrazku „Uroczy mały samochodzik”, który kończy się na liczbie 257, spróbujcie samodzielnie sprawdzić liczby powyżej 100, zanim zajrzycie do tabeli.

Dzień 4: bliźniaki. Narysujcie obrazek „Małpka cyrkowa na monocyklu” i pokolorujcie znalezione pary liczb pierwszych bliźniaczych.

Dzień 5: długa trasa. Zmierzcie się z obrazkiem „Tulipan” (ostatnia liczba: 457) albo „Nasturcja” i prowadźcie przy tym dziennik przerw.

Karty z liczbami pierwszymi w klasie

Karty z liczbami pierwszymi pasują do starszych klas szkoły podstawowej, czyli do uczniów, którzy znają już tabliczkę mnożenia. Dobrze sprawdzają się po lekcji o dzielnikach i wielokrotnościach, bo każdy ruch zadaje to samo pytanie: czy ta liczba ma dzielniki inne niż 1 i ona sama?

W bardziej rozbudowanym zadaniu poproś grupy, żeby wybrały różne obrazki i zapisały trzy fakty o swojej trasie: ostatnią liczbę, największą przerwę i liczbę par bliźniaczych. Porównanie wyników w całej klasie pokazuje, że im dalej, tym liczby pierwsze występują rzadziej, i nikt nie musi tego ogłaszać jako reguły. Krótsze obrazki, takie jak „Pokolec królewski (blue tang)”, pozwalają zachować rozsądny rozmiar zadania, a obrazek „Węgorz elektryczny” to prawdziwe wyzwanie.

Na zakończenie spróbujcie krótkiego zadania na rozumowanie: „Kolega z klasy twierdzi, że każda liczba nieparzysta jest pierwsza. Znajdź liczbę z karty, która udowodni, że się myli”. Odpowiedzi takie jak 9, 15, 21 czy 91 pokazują, że uczniowie potrafią sprawdzić twierdzenie zamiast po prostu zapamiętać listę, a właśnie ten nawyk mają kształtować te karty.

Jak sprawdziliśmy te karty

Każda karta z liczbami pierwszymi zachowuje oryginalny obrazek i jego sprawdzoną kolejność łączenia. Kropka nr n ma numer równy n-tej liczbie pierwszej, wyliczonej programowo, a nie wpisanej ręcznie, a ostatnie liczby na tej stronie wynikają z liczby kropek każdego obrazka. Jeśli coś się nie zgadza, skorzystaj z linku do zgłoszeń poniżej.

Drukowanie darmowego PDF

Otwórz wybrany obrazek, wybierz wersję: Liczby pierwsze i pobierz PDF w A4 lub US Letter. Drukuj w rozmiarze rzeczywistym (100%), nie ze zrzutu ekranu.

O tym przewodniku i zgłaszanie problemów

Wersja „Liczby pierwsze” zachowuje każdy obrazek i jego kolejność, zastępując liczby 1, 2, 3 liczbami z tego ciągu. Liczba końcowa na tej stronie jest obliczana z ciągu i liczby kropek każdego obrazka.

Ten przewodnik powstał przy wsparciu AI w szkicowaniu i redakcji. Poznaj projekt na stronie O nas i w polityce redakcyjnej.

Jeśli liczba lub plik budzą wątpliwości, zgłoś problem, podając adres obrazka i nazwę wersji: Liczby pierwsze.