Πρώτοι αριθμοί: ένωσε τις τελείες για εκτύπωση

Ακολούθησε την ακολουθία και αποκάλυψε μια εικόνα

Οι εικόνες «ένωσε τις τελείες» (Πρώτοι αριθμοί) έχουν σε κάθε τελεία έναν αριθμό από μια ακολουθία αντί για 1, 2, 3. Ξεκινάμε από το 2, μετά 3, 5, 7, 11, 13: οι πρώτοι αριθμοί με τη σειρά. Κάθε σωστή σύνδεση προσθέτει ένα κομμάτι του σχεδίου και το τελικό περίγραμμα είναι έτοιμο για χρωματισμό.

Αυτή η σελίδα συγκεντρώνει τις εκδόσεις (Πρώτοι αριθμοί) 32 εικόνων. Άνοιξε μια κάρτα και διάλεξε την έκδοσή της: Πρώτοι αριθμοί.

Η ακολουθία και πώς να την ελέγξεις

Ένας πρώτος αριθμός έχει ακριβώς δύο διαιρέτες: το 1 και τον εαυτό του. Οι αριθμοί είναι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και ούτω καθεξής: η τελεία με αριθμό n φέρει τον n-οστό πρώτο. Το 1 δεν είναι πρώτος και το 2 είναι ο μόνος άρτιος πρώτος.

Τα διαστήματα μεταξύ πρώτων αλλάζουν, άρα δεν υπάρχει σταθερός ρυθμός. Κράτα δίπλα στο φύλλο έναν πίνακα πρώτων και τσέκαρε κάθε αριθμό. Οι αριθμοί μεγαλώνουν: ο εκατοστός πρώτος είναι το 541, γι’ αυτό τα φύλλα αυτά χρησιμοποιούν τις μικρότερες εικόνες.

Τι εξασκούν τα φύλλα

Τα φύλλα εξασκούν την αναγνώριση πρώτων, τη σκέψη για τους διαιρέτες και την αναζήτηση του επόμενου αριθμού σε μια λίστα. Ταιριάζουν σε μεγαλύτερα παιδιά που ξέρουν την προπαίδεια.

Τα φύλλα δεν διδάσκουν υπολογισμούς και δεν αντικαθιστούν το μάθημα. Εξήγησε πρώτα την ιδέα και άφησε τις τελείες να δώσουν την εξάσκηση.

Επιλέγοντας εικόνα

Οι εικόνες αυτής της συλλογής έχουν από 43 έως 96 τελείες, οπότε υπάρχει φύλλο για μικρή και για μεγάλη διάρκεια.

Συντομότερες διαδρομές είναι για παράδειγμα Κρόνος (43 τελείες, τελειώνει στο 191) και Διαστημική κάμερα (43 τελείες, τελειώνει στο 191).

Για μεγαλύτερη διάρκεια δοκίμασε Λουλούδι Πλουμέρια (95 τελείες, τελειώνει στο 499) και Λουλούδι Ναστουρτίου (96 τελείες, τελειώνει στο 503).

Πώς να ξεκινήσεις

Πριν ξεκινήσεις, κύκλωσε τους πρώτους σε έναν πίνακα του εκατό. Μετά ένωσε τις τελείες με τον πίνακα δίπλα σου και πες κάθε πρώτο δυνατά.

Γράψε τους πρώτους αριθμούς σε μια λωρίδα χαρτιού δίπλα στο φύλλο. Κάντε μαζί τις πρώτες συνδέσεις και, όταν το παιδί σταματήσει, ρώτα τι έρχεται μετά πριν βοηθήσεις.

Μια βόλτα ανάμεσα στις εικόνες

Οι διαδρομές με πρώτους αριθμούς μεγαλώνουν γρήγορα, οπότε ακόμη και οι μικρές εικόνες φτάνουν σε τριψήφιους. Οι πιο ήπιες είναι οι εικόνες Κρόνος και Διαστημική κάμερα: από 43 τελείες η καθεμία, με τέλος στο 191. Η εικόνα Λουλούδι Λωτού τελειώνει στο 199 και η εικόνα Μπλε χειρουργόψαρο στο 229. Για αυτές αρκεί ένας μικρός πίνακας πρώτων αριθμών δίπλα στο φύλλο.

Τρεις εικόνες έχουν το ίδιο τέλος: οι Πιγκουίνος Τσίρκου, Ψάρι Κλόουν και Γαρίφαλο έχουν από 53 τελείες και τελειώνουν στο 241. Οι εικόνες Καφετιέρα Ντάλα και Ελέφαντας Τσίρκου που Ισορροπεί σε Μπάλα σταματούν και οι δύο στο 307, και οι εικόνες Τριαντάφυλλο και Μπουρτζ Αλ Αράμπ στο 317. Τα φύλλα με ίδιο τέλος είναι καλό ζευγάρι για δύο παιδιά.

Για μεγαλύτερη πρόκληση, η εικόνα Ηλεκτρικό Χέλι φτάνει στο 419, η εικόνα Λουλούδι Πλουμέρια σταματά λίγο πριν από το 500, στο 499, και η εικόνα Λουλούδι Ναστουρτίου, η μεγαλύτερη εδώ με 96 τελείες, το ξεπερνά και τελειώνει στο 503. Για αυτά τα φύλλα αξίζει να σχεδιάσετε δύο ή τρία μικρότερα καθισίματα.

Εικόνες με πρώτο αριθμό τελειών

Κάποιες εικόνες κρύβουν και δεύτερο πρώτο αριθμό. Η εικόνα Κρόνος έχει 43 τελείες, η εικόνα Ψάρι Κλόουν έχει 53, η εικόνα Τέντα Τσίρκου έχει 59, η εικόνα Mickey Mouse Platy έχει 61 και η εικόνα Χαριτωμένη πεταλούδα έχει 67. Καθένας από αυτούς τους αριθμούς τελειών είναι κι ο ίδιος πρώτος.

Ζητήστε από το παιδί να το ελέγξει πριν ζωγραφίσει: μπορεί το 59 να χωριστεί σε ίσες σειρές των 2, 3, 5 ή 7; Δεν μπορεί, άρα το 59 είναι πρώτος. Ύστερα συγκρίνετε με την εικόνα Ανατρεπόμενο φορτηγό, που έχει 69 τελείες: 69 = 3 × 23, άρα δεν είναι πρώτος. Μια σύντομη παράκαμψη σαν αυτή κάνει την ίδια την κάρτα της εικόνας γρίφο και είναι καλή ευκαιρία για επανάληψη της προπαίδειας.

Δίδυμοι πρώτοι στον τερματισμό

Δίδυμοι πρώτοι λέγονται τα ζευγάρια που διαφέρουν κατά δύο, όπως το 41 και το 43. Αρκετές εικόνες τελειώνουν στο ένα μισό ενός δίδυμου ζεύγους. Η εικόνα Κρόνος τελειώνει στο 191, και το 193 είναι επίσης πρώτος. Η εικόνα Λουλούδι Λωτού τελειώνει στο 199, με δίδυμο το 197. Η εικόνα Μπλε χειρουργόψαρο τελειώνει στο 229 (δίδυμος 227), η εικόνα Πίθηκος Τσίρκου σε Μονότροχο στο 271 (δίδυμος 269) και η εικόνα Φύλλο σφενδάμου στο 349 (δίδυμος 347).

Μόλις τελειώσει η ζωγραφιά, προκαλέστε το παιδί να ψάξει κι άλλα δίδυμα ζευγάρια ανάμεσα στους αριθμούς. Τα πρώτα είναι εύκολα (3 και 5, 5 και 7, 11 και 13), αλλά τα επόμενα, όπως 101 και 103 ή 137 και 139, θέλουν πραγματικό ψάξιμο. Κανείς δεν ξέρει ακόμη αν οι δίδυμοι πρώτοι συνεχίζονται για πάντα· είναι ένα από τα διάσημα ανοιχτά ερωτήματα των μαθηματικών. Στα παιδιά αρέσει να μαθαίνουν ότι ασχολούνται με ένα ερώτημα που ούτε οι επιστήμονες δεν έχουν απαντήσει.

Πώς ελέγχουμε έναν αριθμό

Χρειάζεται να δοκιμάσετε διαίρεση μόνο με πρώτους αριθμούς ως την τετραγωνική ρίζα του αριθμού. Για αριθμούς κάτω από το 121, αρκεί να δοκιμάσετε τα 2, 3, 5 και 7. Για τα μεγαλύτερα φύλλα, που φτάνουν στο 503, ο έλεγχος ως το 19 καλύπτει όλους τους αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι, με καλή γνώση της προπαίδειας, μπορείτε να ελέγξετε κάθε αριθμό αυτής της σελίδας.

Μερικές συντομεύσεις βοηθούν. Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3: το 57 έχει άθροισμα ψηφίων 12, άρα 57 = 3 × 19 και δεν είναι πρώτος. Ένας αριθμός που τελειώνει σε 0 ή 5 διαιρείται με το 5. Οι άρτιοι μετά το 2 δεν είναι ποτέ πρώτοι. Τα παιδιά που χρησιμοποιούν αυτά τα κριτήρια διαιρετότητας μπορούν να δουλεύουν χωρίς πίνακα, και αυτός είναι ο πραγματικός στόχος. Στις μεγάλες τάξεις του Δημοτικού τα κριτήρια είναι ούτως ή άλλως μέρος της ύλης.

Οι πονηροί απατεώνες είναι περιττοί αριθμοί που μοιάζουν πρώτοι: 51 (3 × 17), 87 (3 × 29), 91 (7 × 13) και 119 (7 × 17). Κανείς τους δεν εμφανίζεται σε φύλλο πρώτων αριθμών, οπότε αν ένα παιδί απλώσει το χέρι προς κάποιον, έχει πιάσει μόνο του το λάθος του. Αξίζει να τους γράψετε σε ένα καρτελάκι και να το κρατάτε δίπλα στο φύλλο.

Πέντε παιχνίδια για ένα φύλλο με πρώτους

Πρώτα το κόσκινο. Φτιάξτε έναν πίνακα του 100 και διαγράψτε το 1 και μετά τα πολλαπλάσια των 2, 3, 5 και 7 (αλλά όχι τα ίδια τα 2, 3, 5 και 7). Ό,τι μένει είναι οι πρώτοι αριθμοί, η ίδια μέθοδος που περιέγραψε ο Ερατοσθένης πριν από περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια. Χρησιμοποιήστε τον πίνακα όσο ζωγραφίζετε.

Ημερολόγιο διαστημάτων. Γράψτε το διάστημα ανάμεσα σε κάθε αριθμό και στη επόμενη. Τα περισσότερα διαστήματα είναι 2, 4 ή 6, αλλά ανάμεσα στο 113 και στο 127 υπάρχει διάστημα 14. Ποιος θα βρει το μεγαλύτερο διάστημα στο φύλλο του;

Πρώτος ή απατεώνας; Γράψτε σε καρτέλες αριθμούς όπως 39, 41, 49, 53 και 57. Πριν από κάθε κίνηση, το παιδί ταξινομεί μία καρτέλα. Στη σελίδα επιτρέπονται μόνο αληθινοί πρώτοι. Μια λάθος ταξινόμηση δεν πειράζει: ψάξτε μαζί τον διαιρέτη.

Αγώνας με ίδιο τέλος. Δύο παίκτες παίρνουν τις εικόνες Πιγκουίνος Τσίρκου και Ψάρι Κλόουν, που τελειώνουν και οι δύο στο 241. Πρέπει να λένε κάθε αριθμό δυνατά· ένας λάθος αριθμός κοστίζει μια σειρά.

Κυνηγός διδύμων. Μόλις τελειώσετε, χρωματίστε κάθε ζευγάρι δίδυμων πρώτων της σελίδας με το ίδιο χρώμα. Στο τέλος μετρήστε πόσα ζευγάρια κρύφτηκαν στη ζωγραφιά.

Γιατί οι πρώτοι μετρούν και έξω από τη σελίδα

Οι πρώτοι αριθμοί συχνά λέγονται τα δομικά υλικά των αριθμών. Κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από το 1 είναι είτε πρώτος είτε μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων, με έναν μόνο τρόπο: το 12 είναι 2 × 2 × 3 και τίποτε άλλο. Τα παιδιά που ξέρουν τους πρώτους αριθμούς μπορούν να σπάσουν κάθε αριθμό στα κομμάτια του. Αυτό λέγεται ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και αργότερα βοηθά πολύ στην απλοποίηση κλασμάτων.

Οι πρώτοι εμφανίζονται και σε απρόσμενα μέρη. Ορισμένα περιοδικά τζιτζίκια της Βόρειας Αμερικής περνούν 13 ή 17 χρόνια κάτω από τη γη πριν βγουν στην επιφάνεια, και οι δύο αυτοί αριθμοί είναι πρώτοι. Μεγάλο μέρος της ασφάλειας που προστατεύει το e-banking βασίζεται στο πόσο δύσκολο είναι να αναλύσεις πολύ μεγάλους αριθμούς πίσω στους πρώτους παράγοντές τους. Οι μικροί πρώτοι αυτών των φύλλων είναι τα πρώτα βήματα της ίδιας ιδέας.

Κάποιοι τελικοί αριθμοί είναι ξεχωριστοί και με άλλον τρόπο: διαβάζονται το ίδιο από μπρος και από πίσω. Η εικόνα Χαριτωμένη κουκουβάγια τελειώνει στο 313, η εικόνα Σπινόσαυρος στο 373 και η εικόνα Λουλούδι Ορχιδέας στο 383. Αυτοί είναι παλινδρομικοί πρώτοι. Άλλα παλινδρομικά, όπως 101, 131, 151, 181 και 191, κρύβονται μέσα στις μεγαλύτερες διαδρομές· ρωτήστε τα παιδιά πόσα θα βρουν μόλις τελειώσουν μια ζωγραφιά. Από τους διψήφιους, το 11 είναι ο μόνος παλινδρομικός πρώτος: τα 22, 33, 44 και τα υπόλοιπα είναι όλα πολλαπλάσια του 11.

Κανείς δεν έχει βρει έναν απλό τύπο που να απαριθμεί όλους τους πρώτους, και αυτό είναι ένας από τους λόγους που γοητεύουν τους μαθηματικούς. Το να ενώνεις μια διαδρομή πρώτων είναι μια μικρή γεύση από αυτό το μυστήριο: ο επόμενος αριθμός είναι πάντα εκεί, αλλά πρέπει να τον ψάξεις.

Ένα πενθήμερο πλάνο για τους πρώτους

Ημέρα 1: φτιάχνουμε το κόσκινο. Φτιάξτε έναν πίνακα του 100, διαγράψτε το 1 και τα πολλαπλάσια των 2, 3, 5 και 7 (αλλά όχι αυτούς τους τέσσερις πρώτους αριθμούς) και κρατήστε τον όλη την εβδομάδα.

Ημέρα 2: μια σύντομη διαδρομή. Ζωγραφίστε την εικόνα Διαστημική κάμερα με τη βοήθεια του πίνακα. Τελειώνει στο 191, οπότε ο πίνακας καλύπτει τις πρώτες 25 τελείες και τα υπόλοιπα είναι νέο έδαφος.

Ημέρα 3: έλεγχος μόνοι σας. Στην εικόνα Χαριτωμένο μικρό αυτοκίνητο, που τελειώνει στο 257, προσπαθήστε να ελέγξετε μόνοι σας τους αριθμούς πάνω από το 100 πριν τις αναζητήσετε.

Ημέρα 4: δίδυμοι. Ζωγραφίστε την εικόνα Πίθηκος Τσίρκου σε Μονότροχο και χρωματίστε τα ζευγάρια δίδυμων πρώτων που θα βρείτε.

Ημέρα 5: το μεγάλο φύλλο. Πιάστε την εικόνα Λουλούδι Τουλίπας (τελειώνει στο 457) ή την εικόνα Λουλούδι Ναστουρτίου και κρατήστε ημερολόγιο διαστημάτων στην πορεία.

Τα φύλλα με πρώτους στην τάξη

Τα φύλλα με πρώτους αριθμούς ταιριάζουν κυρίως στη ΣΤ΄ Δημοτικού και στην Α΄ Γυμνασίου, σε μαθητές που ξέρουν ήδη την προπαίδεια. Δουλεύουν πολύ καλά μετά από ένα μάθημα για διαιρέτες και πολλαπλάσια, γιατί κάθε κίνηση θέτει το ίδιο ερώτημα: έχει αυτός ο αριθμός άλλους διαιρέτες εκτός από το 1 και τον εαυτό του; Ταιριάζουν επίσης σε όμιλο μαθηματικών ή στην προετοιμασία για διαγωνισμούς.

Για μια πλουσιότερη δραστηριότητα, ζητήστε από τις ομάδες να διαλέξουν διαφορετικές εικόνες και να καταγράψουν τρία στοιχεία για τη διαδρομή τους: τον τελευταίο αριθμό, το μεγαλύτερο διάστημα και τον αριθμό των δίδυμων ζευγαριών. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα της τάξης, φαίνεται ότι οι πρώτοι αραιώνουν όσο μεγαλώνουν οι αριθμοί, χωρίς να χρειαστεί κανείς να το διατυπώσει ως κανόνα. Οι μικρότερες εικόνες, όπως η Μπλε χειρουργόψαρο, κρατούν τη δραστηριότητα διαχειρίσιμη, ενώ η εικόνα Ηλεκτρικό Χέλι προσφέρει πραγματική πρόκληση.

Για κλείσιμο, δοκιμάστε μια σύντομη ερώτηση συλλογισμού: «Ένας συμμαθητής σου λέει ότι κάθε περιττός αριθμός είναι πρώτος. Βρες έναν αριθμό στο μέγεθος των αριθμών του φύλλου που να δείχνει ότι κάνει λάθος.» Απαντήσεις όπως 9, 15, 21 ή 91 δείχνουν ότι οι μαθητές μπορούν να ελέγξουν έναν ισχυρισμό και όχι απλώς να θυμηθούν μια λίστα, και αυτή ακριβώς τη συνήθεια θέλουν να χτίσουν αυτά τα φύλλα.

Πώς ελέγχθηκαν αυτά τα φύλλα

Κάθε φύλλο με πρώτους αριθμούς κρατά την αρχική εικόνα και τη δοκιμασμένη σειρά ένωσής της. Ο αριθμός της τελείας n είναι ο n-οστός πρώτος αριθμός, υπολογισμένος από πρόγραμμα και όχι πληκτρολογημένος με το χέρι, και οι τελικοί αριθμοί αυτής της σελίδας προκύπτουν από τον αριθμό τελειών κάθε εικόνας. Αν κάτι μοιάζει λάθος, χρησιμοποιήστε τον σύνδεσμο αναφοράς παρακάτω.

Εκτύπωση του δωρεάν PDF

Άνοιξε την εικόνα που διάλεξες, επίλεξε την έκδοση: Πρώτοι αριθμοί και κατέβασε το PDF σε A4 ή US Letter. Εκτύπωσε σε πραγματικό μέγεθος (100%) και όχι από στιγμιότυπο οθόνης.

Σχετικά με τον οδηγό και αναφορά προβλήματος

Η έκδοση: Πρώτοι αριθμοί κρατά κάθε εικόνα και τη σειρά της, αντικαθιστώντας τους αριθμούς 1, 2, 3 με αυτούς της ακολουθίας. Ο τελικός αριθμός σε αυτή τη σελίδα υπολογίζεται από την ακολουθία και τον αριθμό τελειών κάθε εικόνας.

Αυτός ο οδηγός ετοιμάστηκε με τη βοήθεια ΤΝ στη σύνταξη και την επιμέλεια. Διάβασε για το έργο στη σελίδα Σχετικά και στη συντακτική πολιτική.

Αν ένας αριθμός ή μια λήψη φαίνεται λάθος, ανάφερε το πρόβλημα με τη διεύθυνση της εικόνας και το όνομα της έκδοσης: Πρώτοι αριθμοί.