Alkuluvut: yhdistä pisteet -tulosteet

Seuraa jonoa ja paljasta kuva

Näissä yhdistä pisteet -kuvissa jokaisessa pisteessä on alkuluku lukujen 1, 2, 3 sijaan. Aloita luvusta 2, sitten 3, 5, 7, 11, 13: alkuluvut järjestyksessä. Jokainen oikea yhdistys lisää osan piirrosta, ja lopuksi ääriviivat voi värittää.

Tälle sivulle on koottu 35 kuvan alkulukujen-versiot. Avaa kortti ja valitse versio Alkuluvut.

Lukujono ja sen tarkistaminen

Alkuluvulla on täsmälleen kaksi tekijää: 1 ja se itse. Luvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja niin edelleen: pisteessä numero n on n:s alkuluku. Luku 1 ei ole alkuluku, ja 2 on ainoa parillinen alkuluku. Lisää määritelmästä ja historiasta kertoo Wikipedian artikkeli alkuluvuista.

Alkulukujen väli vaihtelee, joten tasaista tahtia ei ole. Pidä alkulukutaulukko sivun vieressä ja rastita jokainen luku. Luvut kasvavat: sadas alkuluku on 541, siksi nämä tehtävät käyttävät lyhyempiä kuvia.

Mitä tehtävät harjoittavat

Tehtävät harjoittavat alkulukujen tunnistamista, tekijöistä ajattelua ja seuraavan luvun etsimistä listasta. Ne sopivat isommille, jotka osaavat kertotaulut.

Tehtävät eivät opeta laskemista eivätkä korvaa oppituntia. Selitä ensin ajatus ja anna pisteiden tarjota harjoitus.

Kuvan valinta

Tämän kokoelman kuvissa on 43–96 pistettä, joten on tehtävä sekä lyhyeen että pitkään hetkeen.

Lyhyempiä reittejä ovat esimerkiksi Saturnus (43 pistettä, loppuu lukuun 191) ja Avaruuskamera (43 pistettä, loppuu lukuun 191).

Pitkään hetkeen sopivat Plumerian kukka (95 pistettä, loppuu lukuun 499) ja Koristekrassin kukka (96 pistettä, loppuu lukuun 503).

Näin pääset alkuun

Ympyröi alkuluvut sadan taulusta ennen aloitusta. Yhdistä sitten pisteet taulu vieressä ja sano jokainen alkuluku ääneen.

Kirjoita ensimmäiset luvut paperisuikaleelle sivun viereen. Tehkää ensimmäiset yhdistykset yhdessä, ja kun lapsi pysähtyy, kysy mikä tulee seuraavaksi, ennen kuin autat.

Kierros kuvien läpi

Alkulukureitit kasvavat nopeasti, joten lyhyetkin kuvat yltävät kolminumeroisiin lukuihin. Saturnus -kuva ja Avaruuskamera -kuva ovat lempeimmät: kummassakin on 43 pistettä, ja ne päättyvät lukuun 191. Lootuksen kukka -kuva päättyy lukuun 199 ja Sininen kirurgikala -kuva lukuun 229. Lyhyet kuvat sopivat hyvin ensimmäiseksi, koska alkulukuja joutuu tarkistamaan vielä kohtuullisen vähän.

Kolme kuvaa päättyy samaan lukuun: Sirkuspingviini, Klovnikala ja Neilikan kukka. Kussakin on 53 pistettä, ja loppuluku on 241. Dallah-kahvipannu -kuva ja Pallolla tasapainoileva sirkusnorsu -kuva pysähtyvät molemmat lukuun 307, ja Ruusun kukka -kuva ja Burj Al Arab -kuva lukuun 317. Samaan lukuun päättyvät kuvat sopivat hyvin kilpailuihin ja vertailuihin. Kilpailun voi myös kääntää yhteistyöksi: lapset tarkistavat vuorotellen toistensa luvut ja kertovat, millä jakajalla testi tehtiin.

Isompaa haastetta kaipaaville Sähköankerias -kuva yltää lukuun 419, Plumerian kukka -kuva pysähtyy juuri ennen 500:aa lukuun 499, ja Koristekrassin kukka -kuva, tämän kokoelman pisin, jossa on 96 pistettä, ylittää rajan ja päättyy lukuun 503. Pitkät alkulukureitit kannattaa jakaa useammalle kerralle, sillä jokaisen luvun etsiminen vaatii keskittymistä.

Kuvat, joiden pistemäärä on alkuluku

Joissakin kuvissa piilee toinenkin alkuluku. Saturnus -kuvassa on 43 pistettä, Klovnikala -kuvassa 53, Sirkusteltta -kuvassa 59, Mikki Hiiri -platy -kuvassa 61 ja Söpö perhonen -kuvassa 67. Jokainen näistä pistemääristä on itsekin alkuluku.

Pyydä lasta tarkistamaan tämä ennen piirtämistä: voiko 59 pistettä järjestää yhtä pitkiin riveihin, joissa on 2, 3, 5 tai 7 pistettä? Ei voi, joten 59 on alkuluku. Vertailkaa sitten Kippiauto -kuvaan, jossa on 69 pistettä: 69 on 3 × 23, joten se ei ole alkuluku. Tällainen pieni sivupolku muuttaa itse kuvakortin arvoitukseksi. Lapsi voi käydä läpi muidenkin korttien pistemääriä ja lajitella ne kahteen pinoon: alkuluvut ja muut. Lajittelun jälkeen voi kysyä, kumpi pino on suurempi, ja miettiä yhdessä, johtuuko se sattumasta.

Alkulukukaksoset maaliviivalla

Alkulukukaksoset ovat alkulukupareja, joiden erotus on kaksi, kuten 41 ja 43. Useat kuvat päättyvät kaksosparin toiseen puoliskoon. Saturnus -kuva päättyy lukuun 191, ja myös 193 on alkuluku. Lootuksen kukka -kuva päättyy lukuun 199, jonka kaksonen on 197. Sininen kirurgikala -kuva päättyy lukuun 229 (kaksonen 227), Sirkusapina yksipyöräisellä -kuva lukuun 271 (kaksonen 269) ja Vaahteranlehti -kuva lukuun 349 (kaksonen 347). Lapsi voi tarkistaa kaksosen itse: riittää, kun hän kokeilee jakaa luvun samoilla alkuluvuilla kuin paperin muutkin luvut.

Kun kuva on valmis, haasta lapsi etsimään muita kaksospareja luvuista. Ensimmäiset ovat helppoja (3 ja 5, 5 ja 7, 11 ja 13), mutta myöhemmät parit, kuten 101 ja 103 tai 137 ja 139, vaativat kunnon etsimistä. Kukaan ei vielä tiedä, jatkuvatko alkulukukaksoset loputtomiin; se on yksi matematiikan kuuluisista ratkaisemattomista kysymyksistä. Lapsille on usein jännittävä ajatus, että aivan tavallisista luvuista voi kysyä jotain, mihin kukaan maailmassa ei tiedä vastausta. Löydetyt parit kannattaa kirjoittaa listaksi, jotta lapsi näkee, miten harvassa parit ovat suurten lukujen joukossa.

Näin luku testataan

Riittää, että kokeilee jakaa alkuluvuilla luvun neliöjuureen asti. Alle 121:n luvuilla riittää testata 2, 3, 5 ja 7. Pisimmissä tehtävissä, jotka yltävät lukuun 503, testaaminen lukuun 19 asti kattaa kaikki luvut. Neliöjuuren ajatuksen voi selittää kuvallisesti: jos luvulla olisi suuri tekijä, sillä pitäisi olla myös pieni pari, ja pienet tekijät on jo kokeiltu.

Muutama oikotie auttaa. Luku on jaollinen kolmella, jos sen numeroiden summa on jaollinen kolmella: luvun 57 numeroiden summa on 12, joten 57 = 3 × 19 eikä se ole alkuluku. Nollaan tai viiteen päättyvä luku on jaollinen viidellä. Parilliset luvut kakkosen jälkeen eivät ole koskaan alkulukuja. Lapsi, joka käyttää näitä tarkistuksia, pärjää ilman taulukkoa, ja se on varsinainen tavoite. Kirjoita säännöt pienelle lapulle, joka pidetään paperin vieressä ensimmäisillä kerroilla, ja ota lappu pois, kun tarkistukset sujuvat. Seitsemällä jaollisuuden tarkistaminen on hankalampaa, joten sen voi tehdä laskemalla seitsemän kertotaulua lähelle testattavaa lukua.

Kavalia huijareita ovat parittomat luvut, jotka näyttävät alkuluvuilta: 51 (3 × 17), 87 (3 × 29), 91 (7 × 13) ja 119 (7 × 17). Yksikään niistä ei ole alkulukutehtävässä, joten jos lapsi kurottaa jotakin niistä kohti, hän on itse saanut virheensä kiinni. Huijarit voi kerätä omaksi listakseen tekijöineen, ja lista kasvaa nopeasti pieneksi kokoelmaksi.

Viisi leikkiä alkulukutehtävään

Ensin seula. Tehkää sadan taulu ja vetäkää yli luku 1 ja sitten lukujen 2, 3, 5 ja 7 monikerrat (mutta ei lukuja 2, 3, 5 ja 7 itseään). Jäljelle jäävät alkuluvut, samalla menetelmällä, jonka Eratosthenes kuvasi yli kaksituhatta vuotta sitten. Käyttäkää taulua piirtämisen apuna. Valmis seula on hyvä säilyttää muovitaskussa, jotta sitä voi käyttää monen tehtävän ajan.

Välimatkaloki. Kirjoita muistiin jokaisen luvun ja seuraavan välinen ero. Useimmat erot ovat 2, 4 tai 6, mutta lukujen 113 ja 127 välillä on 14:n hyppy. Kuka löytää omasta tehtävästään suurimman hypyn? Hyppyjä voi myös piirtää pylväinä ruutupaperille, jolloin suuret aukot näkyvät heti.

Alkuluku vai huijari? Kirjoita kortteihin lukuja, kuten 39, 41, 49, 53 ja 57. Ennen jokaista siirtoa lapsi lajittelee yhden kortin. Vain oikeat alkuluvut pääsevät paperille. Huijarikortteja voi lisätä vähitellen, kun lapsi oppii tunnistamaan ensimmäiset.

Kilpa samaan maaliin. Kaksi pelaajaa ottaa Sirkuspingviini -kuvan ja Klovnikala -kuvan, jotka molemmat päättyvät lukuun 241. Jokainen luku on sanottava ääneen; väärä luku maksaa vuoron.

Kaksosmetsästäjä. Kun kuva on valmis, lapsi värittää paperin jokaisen alkulukukaksosparin samalla värillä.

Miksi alkuluvuilla on merkitystä paperin ulkopuolella

Alkulukuja kutsutaan usein lukujen rakennuspalikoiksi. Jokainen ykköstä suurempi luonnollinen luku on joko alkuluku tai saadaan kertomalla alkulukuja keskenään, ja vain yhdellä tavalla: 12 on 2 × 2 × 3 eikä mitään muuta. Lapsi, joka tuntee alkuluvut, osaa purkaa minkä tahansa luvun osiinsa. Purkamista voi harjoitella tekijäpuulla: luku jaetaan kahteen osaan, kunnes jokainen haara päättyy alkulukuun.

Alkulukuja löytyy myös yllättävistä paikoista. Jotkin Pohjois-Amerikan jaksolliset kaskaat elävät maan alla 13 tai 17 vuotta ennen kuin ne nousevat esiin, ja molemmat ovat alkulukuja. Suuri osa verkkopankin turvallisuudesta perustuu siihen, kuinka vaikeaa on jakaa hyvin suuria lukuja takaisin alkutekijöihinsä. Näiden tehtävien pienet alkuluvut ovat saman ajatuksen ensimmäisiä askelia. Kaskaiden tarinaa voi tutkia myös pienellä laskulla: kuinka usein 13 ja 17 vuoden välein nousevat parvet osuvat samalle vuodelle? Vastaus on 13 × 17 eli 221 vuoden välein.

Jotkin loppuluvut ovat erikoisia toisellakin tavalla: ne luetaan samoin edestä ja takaa. Söpö pöllö -kuva päättyy lukuun 313, Spinosaurus -kuva lukuun 373 ja Orkidean kukka -kuva lukuun 383. Ne ovat palindromialkulukuja. Muita palindromeja, kuten 101, 131, 151, 181 ja 191, piilee pidemmillä reiteillä; kysy lapsilta, montako he löytävät, kun kuva on valmis. Kaksinumeroisista luvuista 11 on ainoa palindromialkuluku: 22, 33, 44 ja muut ovat kaikki luvun 11 monikertoja.

Kukaan ei ole löytänyt yksinkertaista kaavaa, joka luettelisi kaikki alkuluvut, ja se on osa syytä siihen, miksi ne kiehtovat matemaatikkoja. Alkulukureitin yhdistäminen on pieni maistiainen tuosta mysteeristä: seuraava luku on aina olemassa, mutta se pitää etsiä. Lapsi voi yrittää itse keksiä kaavaa ja testata sitä paperin luvuilla; epäonnistuminenkin opettaa paljon.

Viiden päivän suunnitelma alkuluvuille

Päivä 1: rakentakaa seula. Tehkää sadan taulu, vetäkää yli luku 1 ja lukujen 2, 3, 5 ja 7 monikerrat (mutta ei näitä neljää alkulukua) ja säästäkää taulu koko viikoksi.

Päivä 2: lyhyt reitti. Piirtäkää Avaruuskamera -kuva taulun avulla. Se päättyy lukuun 191, joten taulu kattaa 25 ensimmäistä pistettä, ja loppu on uutta maastoa. Ennen piirtämistä voi kysyä, montako alkulukua sadan taulussa on. Niitä on 25, mikä sopii yhteen tämän kuvan ensimmäisten pisteiden kanssa.

Päivä 3: testaa itse. Söpö pikkuauto -kuvassa, joka päättyy lukuun 257, lapsi yrittää testata sadan ylittävät luvut itse ennen kuin ne tarkistetaan. Testaamisen voi kirjata pieneen taulukkoon, jossa on sarakkeet jakajille 2, 3, 5, 7 ja 11.

Päivä 4: kaksoset. Piirtäkää Sirkusapina yksipyöräisellä -kuva ja värittäkää löytämänne alkulukukaksoset.

Päivä 5: se pitkä. Tarttukaa Tulppaanin kukka -kuvaan (joka päättyy lukuun 457) tai Koristekrassin kukka -kuvaan ja pitäkää välimatkalokia matkan varrella. Viikon lopuksi lapsi voi verrata ensimmäisen ja viimeisen päivän välimatkalokeja ja kertoa, mitä hän huomasi.

Alkulukutehtävät luokassa

Alkulukutehtävät sopivat alakoulun ylemmille luokille ja yläkoulun alkuun, kun oppilaat osaavat jo kertotaulut. Ne toimivat hyvin tekijöitä ja monikertoja käsittelevän tunnin jälkeen, koska jokainen siirto esittää saman kysymyksen: onko tällä luvulla muita tekijöitä kuin 1 ja luku itse? Ennen piirtämistä kannattaa kerrata lyhyesti, mitä tekijä tarkoittaa, ja tehdä yhdessä muutama esimerkki taululla.

Monipuolisempaa tehtävää varten ryhmät voivat valita eri kuvat ja kirjata reitistään kolme asiaa: viimeisen luvun, suurimman hypyn ja kaksosparien määrän. Kun luokka vertailee tuloksia, käy ilmi, että alkuluvut harvenevat lukujen kasvaessa, ilman että kenenkään tarvitsee sanoa sitä sääntönä. Lyhyemmät kuvat, kuten Sininen kirurgikala, pitävät tehtävän hallittavana, kun taas Sähköankerias -kuva tarjoaa todellisen haasteen. Kiinnittäkää ryhmien kolme havaintoa lopuksi taululle, jotta kaikki näkevät erot. Tuloksia voi verrata myös eri pituisten kuvien välillä: onko pitkissä reiteissä suurempia hyppyjä kuin lyhyissä?

Lopettakaa lyhyellä päättelytehtävällä: ”Luokkakaveri sanoo, että jokainen pariton luku on alkuluku. Etsi tehtävän lukujen kokoinen luku, joka todistaa hänen olevan väärässä.” Vastaukset kuten 9, 15, 21 tai 91 osoittavat, että oppilaat osaavat testata väitteen sen sijaan, että vain muistaisivat listan, ja juuri sitä tapaa nämä tehtävät on tarkoitettu rakentamaan. Oppilaat voivat kirjoittaa vastaesimerkkinsä taululle, ja luokka tarkistaa yhdessä jokaisen etsimällä sen tekijät.

Näin tehtävät on tarkistettu

Jokaisessa alkulukutehtävässä on alkuperäinen kuva ja sen testattu yhdistämisjärjestys. Pisteen n luku on n:s alkuluku, joka on laskettu eikä kirjoitettu käsin, ja tämän sivun loppuluvut tulevat kunkin kuvan pistemäärästä. Jos jokin näyttää väärältä, käytä alla olevaa virheilmoituslinkkiä.

Ilmaisen PDF:n tulostus

Avaa valittu kuva, valitse versio: Alkuluvut ja lataa PDF A4- tai US Letter -koossa. Tulosta todellisessa koossa (100 %), älä kuvakaappauksesta.

Tietoa oppaasta ja ongelmista ilmoittaminen

Versio Alkuluvut säilyttää jokaisen kuvan ja sen järjestyksen ja korvaa luvut 1, 2, 3 tämän jonon luvuilla. Sivulla näkyvä loppuluku lasketaan jonosta ja kunkin kuvan pistemäärästä.

Tämä opas on laadittu tekoälyn avustamana luonnostelussa ja muokkauksessa. Lue hankkeesta Tietoa meistä -sivulta ja toimituspolitiikasta.

Jos luku tai lataus näyttää väärältä, ilmoita ongelmasta kuvan osoitteen ja version nimen kanssa: Alkuluvut.